福建事业单位数量关系_组合之隔板模型问题

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排列组合问题是考察频次较高的一类题型，难度比较高，同样也是高中学过的一个重要的知识点。在考察过程当中，除了优限法，插空法，捆绑法等基本方法以外，还会有一些基本模型，这些基本模型我们只要掌握一定的做题方法解题还是非常快速和容易的，隔板模型就是一类重要问题，接下来我们就一起探讨一下隔板模型问题。

模型:

把n个相同元素分给m个人，全部分完，每个人至少分一个，有多少种不同的分法?

在这个问题当中，有三个关键点

1.n个相同元素;

2.分给m个人，全部分完;

3.每个人至少分1个。

在这个问题中把n个元素分成m份即可，但是每一份至少是1个，所以可以在n个元素中间插空，n个元素排好后中间会有n-1个空，直接在n-1个空中任意选m-1个空插板就可以分成m份，每一份至少是1个，所以可以列式C(m-1,n-c)。

接下来我们用几个小题目来理解一下这个问题。

问题1:

把10个相同的苹果分给3个小朋友，每个人至少分1个,有多少种不同的方法?

解析:10个苹果中间可以形成9个空，所以我们可以直接在9个空当中任意选两个空进行插板，就可以把苹果分成3份，每一份至少是1个，列式为C(2,9)，计算可得36种。

问题2:

把10个相同的苹果分给3个小朋友,每个人至少分2个，有多少种不同的方法?

解析:在这个题目中，我们需要明确的是，10个苹果分给3个小朋友每人至少分2个，如果直接应用隔板模型的公式去做题的话，不符合隔板模型的第三个特征，所以需要把每人至少分2个转化成至少分1个的形式，从而利用隔板模型的公式去做题。可以考虑3个小朋友，每人先分1个，余下7个苹果分给3个小朋友，每人至少分1个，所以可列式C(2,6)，计算可得15种。

问题3:

把10个相同的苹果分给3个小朋友,任意分,可以为0，有多少种不同的方法?

解析:这个问题也是隔板模型的一个引申问题，我们也需要去转化为每人至少分1个的情况。向3个小朋友每人借一个苹果，现在一共13个苹果分给3个小朋友，在分的过程中需要把借的苹果还回去，所以每人至少分1个，可列式C(2,12)，计算可得66种。

总之，如果我们在考试过程中遇到满足隔板模型三个特征的问题，可以直接借助公式去解题，或者满足前两个特征，我们可以将其转化为标准型再利用公式求解，相信大家通过练习一定能掌握这一题型。

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